Aan het einde van de 19e eeuw en het begin van de 20e eeuw had de beroemde wiskundige David Hilbert de grote ambitie om een striktere mathematische denkwijze in de wereld van de fysica in te voeren. Fysici waren destijds nog steeds verwikkeld in debatten over basale definities, zoals “wat is warmte?” en “wat is de structuur van moleculen?”, en hadden moeite om vooruitgang te boeken. Hilbert geloofde dat de formele logica van de wiskunde de sleutel kon zijn om deze vraagstukken op te lossen.
Op 8 augustus 1900 presenteerde hij een lijst van 23 belangrijke onopgeloste problemen tijdens een internationale wiskundige conferentie. Het zesde probleem op deze lijst luidde: “Bewijs de wetten van de fysica volledig.” Het bereik van Hilberts zesde probleem is enorm. Hij vroeg om de natuurwetenschappen op eenzelfde manier te behandelen als de geometrie, met behulp van axioma’s.
Hilberts poging om de fysica te axiomatiseren was “in feite slechts een plan,” zegt de wiskundige Dave Levermore van de Universiteit van Maryland. “Aan de manier waarop het zesde probleem werd gepresenteerd, is het duidelijk dat dit geen oplossing vooronderstelde.” Desondanks gaf Hilbert een aanzet. Fysici gebruiken verschillende vergelijkingen om de diverse eigenschappen van gassen te onderzoeken, zoals de snelheid van moleculen of de gemiddelde temperatuur. Er zijn specifieke verzamelingen vergelijkingen die de beweging van individuele moleculen in een gas beschrijven, evenals andere verzamelingen die het gedrag van het gehele gas verwoorden.
Hilbert raakte vervolgens geïntrigeerd door de mogelijkheid om te bewijzen dat bepaalde verzamelingen vergelijkingen equivalent zijn aan andere. Met andere woorden, deze vergelijkingen zijn niet strikt bewezen, maar zijn enkel verschillende manieren om dezelfde werkelijkheid wiskundig te formuleren.
In de afgelopen 125 jaar leek het zelfs onmogelijk om slechts een klein deel van de fysica te axiomatiseren. Wiskundigen hebben wel enige vooruitgang geboekt door gassen met een zeer korte tijdschaal te bestuderen of door bewijzen te ontwikkelen die alleen onder kunstmatig gecreëerde omstandigheden werken. Maar deze methoden kwamen niet in de buurt van de oplossing die Hilbert had voor ogen.
Nu zijn er echter drie wiskundigen die eindelijk een oplossing voor deze vraag hebben gevonden. Hun onderzoek biedt niet alleen een grote vooruitgang in Hilberts plan, maar snijdt ook diep in fundamentele vragen over het onomkeerbare karakter van de tijd. “Dit is een opmerkelijke prestatie,” zegt de fysicus Gregory Falkovich van het Weizmann Institute. “Deze doorbraak mag gerust een prestatie van formaat worden genoemd.”
Onder de Microscoop
Laten we ons voorstellen dat we een gas beschouwen dat in een zeer verspreide toestand verkeert. Fysici gebruiken diverse methoden om dit te modelleren. Op microscopisch niveau bestaat gas uit moleculen die zich bewegen in de ruimte, vergelijkbaar met biljartballen. Deze moleculen bewegen volgens de bewegingswetten die 350 jaar geleden door Isaac Newton werden ontdekt. Het model dat het gedrag van dit gas beschrijft, wordt het “rigide bolpartikelsysteem” genoemd.
Als we een beetje verder wegkijken, in een ‘mesoscopische’ schaal, is het moeilijker om de individuele bewegingen van moleculen te volgen. Hier komen de vergelijkingen in beeld die aan het eind van de 19e eeuw werden ontwikkeld door James Clerk Maxwell en Ludwig Boltzmann. Deze zogenaamde “Boltzmann-vergelijkingen” beschrijven de waarschijnlijkheid van hoe moleculen bewegen, en kunnen voorspellen hoeveel deeltjes met verschillende snelheden op een bepaalde locatie in de ruimte aanwezig zijn. Met dit model kunnen fysici de werking van lucht op kleine schaal bestuderen, bijvoorbeeld hoe lucht rond een spaceshuttle beweegt.
Als we nog verder terugkijken, kunnen we de deeltjes niet eens meer als afzonderlijke entiteiten onderscheiden; ze lijken nu op een enkele stof. Om deze macrodynamiek te modelleren, dus om te begrijpen hoe de dichtheid van dit gas op elke locatie in de ruimte varieert en in welke richting het beweegt, zijn andere vergelijkingen nodig: de Navier-Stokes-vergelijkingen. Fysici geloven dat deze drie verschillende modellen van gasbeweging niet tegenstrijdig zijn, maar gewoon verschillende manieren om hetzelfde fenomeen te begrijpen. Wiskundigen die proberen bij te dragen aan de oplossing van Hilberts zesde probleem, hebben echter geprobeerd streng te bewijzen dat deze drie modellen wezenlijk identiek zijn.
Dit vereist een logische keten die aantoont dat de bewegingsmodellen van individuele deeltjes volgens de Newtoniaanse mechanica kunnen worden afgeleid uit Boltzmann’s statistische beschrijvingen, en dat de Boltzmann-vergelijkingen op hun beurt de Navier-Stokes-vergelijkingen kunnen afleiden. Hoewel er enige vooruitgang is geboekt in deze tweede stap, waarbij wiskundigen aan hebben kunnen tonen dat de mesoscopische modellen onder verschillende voorwaarden kunnen worden afgeleid van de macroscopische modellen, is de eerste stap lange tijd onopgelost gebleven.
Maar de situatie is veranderd. Een groep wiskundigen bestaande uit Yu Deng, Zaheer Hani en Xiao Ma heeft een reeks artikelen gepubliceerd waarin ze in staat zijn gebleken om onder speciale voorwaarden gasmodellen af te leiden van microscopische modellen naar mesoscopische modellen. “Dit is een dramatische doorbraak die een paradigmaverschuiving kan betekenen,” zegt Yan Guo van Brown University.
Onafhankelijkheidsverklaring
Eerder toonde Boltzmann aan dat als een belangrijke aanname waar is, hij zijn mesoscopische vergelijkingen kon afleiden uit Newton’s bewegingswetten. Deze aanname houdt in dat, hoewel er wat variaties zijn, de deeltjes in een gas in feite onafhankelijk van elkaar bewegen. Met andere woorden, het is zeer onwaarschijnlijk dat een specifiek paar moleculen meerdere keren zal botsen. Echter, Boltzmann kon dit nooit definitief bewijzen. “Natuurlijk kon hij de axioma’s die nodig waren om dit probleem aan te pakken niet bewijzen,” zegt Sergio Simonella van de Universiteit van Rome La Sapienza. “Toentertijd waren er niet eens de benodigde kaders of hulpmiddelen beschikbaar.”
Uiteindelijk, wanneer een groep deeltjes herhaaldelijk botst en opnieuw botst, zijn er eindeloze manieren waarop de botsingen zich kunnen voordoen. “De deeltjes botsen in alle denkbare richtingen en ondergaan talloze botsingen,” zegt Levermore. Daarom was het bewijzen dat herhaalde botsingen, zoals Boltzmann aannam, daadwerkelijk zeer zeldzaam zijn, in feite een nachtmerrie.
In 1975 vond de wiskundige Oscar Lanford een manier om dit probleem te bewijzen, maar het bewijs gold alleen voor een zeer korte tijd (hoe kort hing af van de initiële toestand van het gas, maar volgens Simonella was dat “slechts korter dan een knippering”). Daarna faalde de logica van dit bewijs. Lanford kon niet garanderen dat zelfs nog voordat de meeste deeltjes ooit de kans hadden om te botsen, herhaalde botsingen al zeldzaam waren. Gedurende de daaropvolgende tientallen jaren hebben veel wiskundigen geprobeerd om de effectieve tijdschaal van Lanford’s bewijs te prolongeren, maar zonder succes.
Aan het eind van 2023 suggereerden Deng en Hani een voorpublicatie waarin ze mogelijk het benodigde bewijs hebben geleverd. Ze gaven aan dat hun aanstaande paper “een significante verlenging van de tijd in Lanford’s axioma’s” zou bevatten. Hoe deze aankondiging invloed zou hebben op andere wiskundigen was aanvankelijk onduidelijk. “Ik kon me niet voorstellen dat zoiets mogelijk was,” zegt Pierre Germain van Imperial College London. Het is belangrijk op te merken dat Deng en Hani tot dat moment geen specialisten waren in de studie van deeltjesystemen; hun belangrijkste onderzoeksgebied betrof golfachtige systemen.
Desondanks wachtten alle wiskundigen in grote verwachting op de bevindingen die aangekondigd zouden worden.
Botsingen van Deeltjes
De resultaten die Deng en Hani in 2023 presenteerden, kwamen voort uit het analyseren van de overgang van microschaal naar mesoscopische schaal in een Golfcontext. Ongeveer een jaar voordat ze hun paper online publiceerden, ontmoette Deng een graduate student van Princeton University, Xiao Ma, tijdens een conferentie, en ze wisselden ideeën uit over hun onderzoek. Ze bespraken de mogelijkheid om de methodologie van Deng en Hani toe te passen op deeltjesystemen, wat zou kunnen leiden tot het verlengen van de effectieve tijdschaal die Lanford’s resultaten toonden – met andere woorden, misschien konden ze de herhaalde botsingen op een langere timeschaal als uiterst zeldzaam bewijzen.
Beide onderzoekers waren al bezig geweest met het onderzoeken van dit idee. Deng was onder de indruk van Ma’s scherpe inzicht en nodigde hem uit om samen te werken, waarbij hij zijn intuïtieve ideeën om te zetten in een daadwerkelijk bewijs.
De drie besloten om zich te richten op een goed bestudeerd scenario dat eerder door veel wiskundigen was gebruikt om de tweede stap aan te tonen (de overgang van mesoscopische schaal naar macroschaal), namelijk het model van een verdund gas van sferische deeltjes dat in een doos is opgesloten. In deze setting moet een deel van deeltjes dat tegen een wand botst, aan de andere kant van de wand opnieuw verschijnen.
Om de overgang van microscale naar mesoscale in deze setting te bewijzen – een essentiële maar moeilijkere stap om Hilberts zesde probleem op te lossen – moesten de drie hun golfmethodologie aanpassen aan de deeltjeswereld. Ze bedachten dat ze zouden beginnen met een eenvoudiger geval, waarbij de deeltjes willekeurig in een oneindige ruimte zijn verdeeld. In deze ruimte zouden de deeltjes oneindig blijven bewegen zonder te botsen. “Als je naar een oneindige ruimte kijkt, wordt het duidelijk dat het een doorbraak biedt,” verklaart Deng.
De drie wiskundigen moesten beginnen met het opsommen van de verschillende patronen die zich in het gas zouden kunnen voordoen, en inschatten hoe waarschijnlijk elk van deze patronen zou zijn. Ze konden gemakkelijk scenario’s uitsluiten waarin herhaalde botsingen bijzonder waarschijnlijk waren. Wat overbleef was een grote, maar enigszins beperkte set van patronen, die ze verder gedetailleerd moesten analyseren. Het was belangrijk te begrijpen welke specifieke subsets van botsingen in welke specifieke volgordes betrokken zouden zijn. Door exact te begrijpen welke patronen onvermijdelijk zouden leiden tot welke uitkomsten, konden ze de kansen op deze uitkomsten inschatten.
Dit was echter soms een zo complicerende taak dat het onuitvoerbaar leek. Veel patronen omvatten een enorme hoeveelheid deeltjes en de complexe interacties er tussenin. “De structuur van deze groepen [botsende deeltjes] kan enorm complex zijn,” zegt Deng. In principe moesten wiskundigen al deze deeltjes gelijktijdig volgen om hun geschatte kansen te berekenen.
Hierbij bleek de kennis die Deng en Hani gedurende hun golvenonderzoek hadden vergaard van cruciaal belang. Ze hadden een manier ontwikkeld om de complexe patronen van onderling verbonden golven te reduceren tot eenvoudigere patronen. Door deze techniek zorgvuldig toe te passen, ontdekten ze dat ze met alleen de aandacht voor twee of drie golven de kansen op de volledige complexiteit van de golfpatronen konden voorspellen.
Ze begonnen te overwegen of een vergelijkbare aanpak ook op deeltjesbotsingen kon worden toegepast. Echter, de gedragingen van deeltjes na een botsing verschillen aanzienlijk van golven. In tegenstelling tot golven stoten deeltjes elkaar af, wat nieuwe botsingspatronen en hun waarschijnlijke uitkomsten beïnvloedt. Deng, Hani en Ma moesten hun methodologie vanaf het begin opnieuw opbouwen.
De drie kwamen overeen om met het eenvoudigste geval te beginnen, waarbij elke deeltje meerdere botsingen ondergaat in zeer korte tijd, maar er geen herhalingen plaatsvinden. Vervolgens werkten ze zich geleidelijk op naar complexere situaties waarin botsingen en herhaalde botsingen vaker zouden plaatsvinden. Ze verlengden de tijdschaal beetje bij beetje terwijl ze de moeilijkheid verhoogden.
Het proces was veeleer een kunst dan een wetenschap. “Aanvankelijk herhaalden we een paar keer de verkeerde aanpak, maar uiteindelijk kwam er langzaam een soort intuïtie naar boven,” herinnert Deng zich. Ze gebruikten hun intuïtie meesterlijk, splitsen de enorme en complexe patronen van deeltjesbotsingen op zonder dat ze de nauwkeurigheid van de voorspellingen in gevaar brachten.
“Dit proces heeft maanden gekost,” zegt Hani. “We hebben constant vastgelopen.” Bijna dagelijks kwamen ze samen in een Zoom-vergadering om uitgebreid te discussiëren. “We hadden vaak vergaderingen laat in de nacht of vroeg in de ochtend, en mijn vrouw keek vaak niet blij.” Het was niet ongebruikelijk dat ze twee tot drie uur lang na het in bed leggen van hun dochters Zoom-vergaderingen hielden.
Uiteindelijk, in de lente van 2024, waren de drie ervan overtuigd dat ze hun bewijs hadden voltooid. Het artikel dat in de zomer online werd gepubliceerd, toonde strikt aan dat de kans op herhaalde botsingen verbazingwekkend laag is. Met andere woorden, in de setting van oneindige ruimte werden de Boltzmann-vergelijkingen afgeleid van Newton’s vergelijkingen. Het was nu duidelijk dat de microschaal en de mesoscopische schaal werden verbonden door één strikte wiskundige structuur.
“Ik denk dat dit een uiterst opmerkelijk artikel is,” zegt wiskundige Alexandru Ionescu van Princeton University, die ook de promotor was van Deng en Ma. “Ik ben ervan overtuigd dat dit een van de belangrijkste ontwikkelingen in de lange geschiedenis van de wiskunde is.”
Nu is het tijd om terug te keren naar de setting van een gas dat in een doos is opgesloten. Zodra ze daar zijn aangekomen, zal Hilberts zesde probleem eindelijk volledig zijn opgelost.
De Voltooiing van de Keten
Het duurde niet lang om de resultaten uit de oneindige ruimte uit te breiden naar de setting van een doos. “80% van het bewijs was vrijwel hetzelfde als in het geval van de oneindige ruimte,” zegt Deng.
In maart publiceerden ze hun complete bewijs dat de eerdere resultaten met elkaar verbond en een nieuwe paper inleverden. Dit was een brug tussen de Boltzmann-vergelijkingen en de Navier-Stokes-vergelijkingen. Daarmee was de logische keten voltooid. Gebruikmakend van realistische gasmodellen, toonden ze aan hoe de microscopische beschrijvingen gebaseerd op individuele deeltjes uiteindelijk leidden tot een macroscopic beschrijving van de bewegende gassen.
Dit artikel loste niet alleen een belangrijke casus van Hilberts zesde probleem op, maar wierp ook licht op de weg om fundamentele vragen, die gedurende lange tijd als paradoxaal werden beschouwd, mathematisch en rigoureus op te lossen.
Op microscopische schaal bewegen de deeltjes als biljartballen, en de tijd kan worden teruggedraaid. Newton’s vergelijkingen kunnen zowel de plaatsen voorspellen waar de deeltjes verschijnen als verdwijnen. Toekomst en verleden zijn wezenlijk hetzelfde.
Maar op mesoscopische en macrogroottes keert de tijd niet terug. “We weten heel goed – de stroom van de tijd is eenrichtingsverkeer, en mensen worden alleen ouder en verjongen niet. Warmte verplaatst zich niet natuurlijk van een koud object naar een warm object, en de inkt die in een kop water is gevallen, verspreidt zich, maar zal nooit terugkeren naar de oorspronkelijke kleine druppel,” zo merkt Simonella op. Zowel de Boltzmann- als de Navier-Stokes-vergelijkingen staan de terugkeer van de tijd niet toe. Er ontstaan inconsistenties wanneer we proberen de tijd om te draaien. Maar hoe kan een systeem dat de tijd wel toestaat, leiden tot vergelijkingen die dat niet doen? Dit blijft een complexe vraag die mensen sinds de tijd van Boltzmann bezighoudt.
Boltzmann beweerde echter dat dit geen paradox is. Ook al kunnen individuele deeltjes worden beschreven met tijdsretourmodellen, bijna alle botsingspatronen komen uiteindelijk samen in de diffusie van gas. Een situatie waarin gas plotseling in een enkel punt samengetrokken wordt, kan theoretisch voorkomen, maar de kans is bijna nul.
Lanford slaagde erin deze intuïtie wiskundig te verifiëren binnen een kort tijdsbestek. En nu bevestigt het werk van Deng, Hani en Ma deze intuïtie over een realistischere tijdschaal.
Het is te verwachten dat wiskundigen, terwijl ze nog bezig zijn met de details van deze nieuwe bewijzen te onderzoeken, dezelfde technieken zullen toepassen op andere, nog realistischere instellingen. Ze kunnen bijvoorbeeld het gedrag van gassen uit verschillende vormen deeltjes onderzoeken of overweeg complexere interacties tussen deeltjesystemen.
Tegelijkertijd kunnen deze rigoureuze bewijzen inzichten opleveren voor fysici over waarom gassen op verschillende schalen bepaalde gedragingen vertonen, of waarom een bepaald model effectiever is dan andere in verschillende situaties, aldus Falkovich. “Wiskundigen proberen de fysici wakker te schudden.”
