In de 19e eeuw formuleerde de invloedrijke wiskundige Richard Dedekind een probleem dat meer dan een eeuw zou blijven liggen zonder oplossing. De reeks van de Dedekind-getallen, zoals ze uiteindelijk werden genoemd, heeft tot op de dag van vandaag geen algemene definitie. Zelfs het negende lid van deze serie werd slechts recent ontrafeld.
In zijn weinig opgemerkte studie uit 1897 analyseerde Dedekind de eindige systemen van natuurlijke getallen en hun grootste gemeenschappelijke delers. Hij geloofde dat deze delers, ook al zijn het geen priemgetallen, nuttig kunnen zijn in bepaalde wiskundige onderzoeken, en dat het daarom waardevol zou zijn om de daaruit voortkomende relaties te organiseren. Dedekind kon slechts vijf getallen geven uit de reeks die we vandaag de Dedekind-getallen kennen, namelijk 0, 1, 4, 18 en 166, hoewel hij zelf niet zeker was van deze laatste. Hij merkte op dat de getallen extreem snel toenemen, waardoor hij niet eens pogingen deed om een algemene formule op te stellen.
Een van de meest visuele benaderingen is gebaseerd op een n-dimensionale kubus. De kubus wordt op een van zijn toppen geplaatst, waarna de andere toppen rood of wit worden gekleurd, met de voorwaarde dat er nooit een wit punt boven een rood punt mag komen. Het tellen van de “snedes” die op deze manier ontstaan, geeft het bijbehorende Dedekind-getal voor die dimensie. In de nulde dimensie zijn er twee mogelijkheden, in de eerste dimensie drie, in de tweede zes, en in de derde twintig. In de vierde dimensie zijn er al 168 verschillende configuraties, wat er twee meer zijn dan Dedekind oorspronkelijk had gespecificeerd – het verschil komt voort uit het feit dat de moderne wiskunde ook enkele gevallen meerekent die Dedekind als triviaal beschouwde.
Een andere interpretatie is set-theoretisch van aard. Wanneer we een set van n elementen nemen, vormt de verzameling van al zijn deelverzamelingen een zogenaamde deelverzamelingsrooster. In dit geval toont het Dedekind-getal aan hoeveel antiketten in het rooster bestaan, waar de elementen niet onder elkaar of boven elkaar kunnen worden gerangschikt. Er is ook een derde benadering, die dichter bij Dedekinds oorspronkelijke definitie staat, en die werkt met monotone Boole-functies. Dit zijn logische functies waarbij een overstap van een invoer van 0 naar 1 niet kan leiden tot een overstap van de uitvoer van 1 naar 0. Het aantal van dergelijke functies met n variabelen is precies het n-de Dedekind-getal.
Alle benaderingen tonen aan dat de nummers in de serie extreem snel toenemen; het achtste Dedekind-getal heeft bijvoorbeeld al 23 cijfers. Gedurende decennia was de berekening van elke nieuwe waarde een aanzienlijke obstakel. Er moest meer dan 40 jaar worden gewacht op het vijfde getal, het zesde getal werd in 1946 gevonden, het zevende in 1965, en het achtste in 1991, als resultaat van een 200 uur durende berekening op een toenmalig supercomputer.
De onthulling van het negende Dedekind-getal leek lange tijd onbereikbaar. Hoewel de ontwikkeling van de computertechnologie in theorie de berekening zou hebben kunnen faciliteren, bleek de taak zelfs met moderne algoritmes extreem complex. Uiteindelijk vonden twee onafhankelijke onderzoeksteams tegelijk een oplossing. Onderzoekers van de Universiteit van Paderborn gebruikten de symmetrieën van de formule om de benodigde berekeningen drastisch te verminderen en voerden het programma uit op een krachtig supercomputer. Ondertussen bereikte de wiskundige Christian Jäkel van de Technische Universiteit van Dresden met een totaal andere, op matrixvermenigvuldiging gebaseerde methode hetzelfde resultaat op een traditionele computer. In maart 2023 publiceerde hij het 42-cijferige getal, dat enkele dagen later werd bevestigd door het resultaat van het andere team.
De berekening van het negende Dedekind-getal is een mijlpaal, maar de tiende stelt al veel complexere problemen. Onderzoekers geloven dat de energiebehoefte voor de berekening de totale output van de zon zou benaderen, en de grootte van het resultaat zou vergelijkbaar zijn met het aantal atomen in het waarneembare universum. Deskundigen denken niet dat de berekening van het tiende Dedekind-getal in de nabije toekomst zal plaatsvinden. Ze hebben soortgelijke gecompliceerde obstakels ervaren bij de berekening van de Busy Beaver, die al de grenzen van de wiskunde oprekt.
