In 1994 vond er een schokkende gebeurtenis plaats in de wiskundige wereld. Wiskundige Andrew Wiles bewees eindelijk de beroemde Fermat’s laatste stelling, een probleem dat al meer dan drie eeuwen onopgelost bleef. De ontdekking was niet alleen fascinerend voor wiskundigen, maar het werd zelfs op de voorpagina van The New York Times vermeld.
Om dit te bereiken moest Wiles eerst verschillende diepere, tussenliggende stellingen bewijzen, met de hulp van wiskundige Richard Taylor. Deze tussenliggende bewijsvoering opende deuren naar een dieper begrip van de verbinding tussen verschillende domeinen in de wiskunde, waarbij belangrijke verbanden werden aangetoond tussen “elliptische krommen” en “modulaire vormen”.
De Magie van Modulariteit
De ontdekking dat er een constante relatie bestaat tussen elliptische krommen en modulaire vormen was cruciaal voor de bewijsvoering van Wiles. Maar diezelfde modulariteit heeft sindsdien vele andere wiskundigen geholpen om talrijke onopgeloste vraagstukken binnen de wiskunde aan te pakken, en vormt de basis voor het ambitieuze Langlands-programma. Dit programma beoogt een ‘grote unificatietheorie’ die aantonen dat niet alleen elliptische krommen, maar ook andere soorten vergelijkingen op dezelfde manier verbonden zijn.
Het bewijs van de relatie tussen elliptische krommen en modulaire vormen op zich was al een enorme uitdaging, en veel onderzoekers dachten dat het onmogelijk zou zijn om complexere relaties te leggen. Toch wisten vier wiskundigen deze verwachtingen te overtreffen. In februari 2025 publiceerden ze hun bevindingen, waarin ze de modulariteit uitbreidden van elliptische krommen naar een complexere structuur, de “Abelse oppervlakken”.
De Team van Vier en Hun Doorbraak
Het onderzoeksteam, bestaande uit Frank Calegari van de Universiteit van Chicago, George Boxer en Toby Gee van Imperial College London, en Vincent Piron van het Franse CNRS, bewezen dat elke Abelse oppervlak uit een specifieke klasse constant verbonden kan worden met modulaire vormen.
Hun enthousiasme was aanstekelijk, zoals de wiskundige Ana Kalaiani van Imperial College Londen opmerkte: “Als wiskundigen geloven we meestal dat deze voorspellingen waar zijn, maar om het daadwerkelijk bewezen te zien is een emotionele ervaring.”
Een Nieuwe Horizon in de Wiskunde
Deze doorbraak markeert slechts het begin van een lange zoektocht. Het uiteindelijke doel van de wiskundigen is om de modulariteit voor alle Abel oppervlaktes aan te tonen. Toch heeft dit recente resultaat al het potentieel om talrijke andere onbeantwoorde vragen te beantwoorden, net zoals de oorspronkelijke bewijsvoering van de modulariteit bij elliptische krommen dat deed.
Elliptische krommen zijn een fundamentele klasse van vergelijkingen die in essentie slechts twee variabelen gebruiken: x en y. Hoewel de grafieken eenvoudig lijken, verbergen de oplossingen complexe en rijke relaties die cruciaal zijn in de nummertheorie. Voor veel onderzoekers blijft het een uitdaging om deze complexiteit rechtstreeks aan te pakken, en daarom wenden zij zich vaak tot modulaire vormen, die zich verkieslijker laten bestuderen dankzij hun onderliggende symmetrieën.
Kruising van Werelden: De Toepassing van de Ontdekkingen
Het principe van modulariteit is inderdaad op vele vlakken van toepassing. Wiles en Taylor verdwenen niet in de anonimiteit van wiskundige theorieën; hun bevindingen hebben de nieuwsgierigheid van een hele generatie onderzoekers aangewakkerd. Nu, gezien de recente doorbraken van de vier wiskundigen, zijn er nieuwe hypothesen die wachtten om ontdekt te worden, waaronder alternatieve versies van de beroemde Birch en Swinnerton-Dyer conjecturen in relatie tot Abelse oppervlakken.
Deze ontwikkelingen in de wiskunde zijn niet alleen monumentaal op hun eigen manier, ze hebben ook gevolgen die verder reiken dan de abstracte wereld van cijfers en gelijkheden. Ze kunnen het potentieel hebben om inzichten in andere wetenschappelijke domeinen te genereren, waar wiskunde vaak wordt gezien als de fundering voor ontdekkingen in de natuurkunde, economie en andere gebieden.
De reis die begon met de zoektocht naar een relatief eenvoudig idee in de wiskunde, heeft nu geleid tot een enorme golf van nieuwsgierigheid en ontwikkeling binnen het veld. Wat deze vier wiskundigen hebben bereikt, benadrukt de kracht van samenwerking en het belang om zeep verloren schijnbaar onmogelijke uitdagingen aan te gaan.
