De kwantummechanica heeft eindelijk de mogelijkheid om uitsluitend gebruik te maken van reële getallen, wat een nieuwe fase opent in de studie van een oud wiskundig raadsel dat zich in het hart van de theorie bevindt.
Een eeuw geleden leidde het vreemde gedrag van atomen en elementaire deeltjes tot de ontwikkeling van een nieuwe natuurkunde theorie. De kwantummechanica triomfeerde onmiddellijk, waarbij het zijn waarde bewees met zeer nauwkeurige berekeningen van de emissie en absorptie van licht door waterstof. Maar er was een probleem: de centrale vergelijking van de theorie bevatte het imaginair getal i, de vierkantswortel van -1.
Fysici wisten dat i een wiskundige constructie was. Werkelijke fysieke grootheden, zoals massa of momentum, genereren nooit negatieve waarden wanneer ze tot de tweede macht worden verheven. Desondanks leek dit ‘irreële’ getal, dat voldoet aan i² = -1, essentieel te zijn in de kwantumwereld.
Nadat hij de vergelijking vol met imaginaire getallen had afgeleid – de bewegingswet voor kwantum entiteiten – sprak Erwin Schrödinger de hoop uit dat deze someday zou worden vervangen door een volledig reële versie. Ondanks zijn afkeuring bleef de aanwezigheid van i bestaan, en generaties fysici gebruikten zijn vergelijking zonder al te veel bezorgdheid.
In 2021 trok de rol van imaginaire getallen in de kwantumtheorie opnieuw de aandacht. Een team van onderzoekers stelde een methode voor om empirisch te bepalen of i werkelijk essentieel is voor de kwantumtheorie of slechts een wiskundige gemak. Twee groepen voerden de complexe experimenten uit en vonden schijnbaar sluitend bewijs dat de kwantumtheorie i nodig heeft.
Echter, dit jaar hebben verschillende wetenschappelijke artikelen die conclusie in twijfel getrokken. In maart betoogde een groep theoretici uit Duitsland de studies van 2021, en stelde een versie voor van de kwantumtheorie die uitsluitend op reële getallen was gebaseerd, maar die exact gelijkwaardig was aan de standaard versie. Kort daarna presenteerden twee theoretici in Frankrijk hun eigen formulering van een kwantumtheorie in reële waarden. En in september kwam een andere onderzoeker tot hetzelfde resultaat vanuit het gebied van kwantumcomputing: i is niet strikt noodzakelijk om de kwantumrealiteit te beschrijven.
Hoewel deze theorieën het gebruik van het imaginair getal expliciet vermijden, behouden ze kenmerken van hun aritmetiek. Dit leidt sommige onderzoekers te vragen of het imaginaire aspect van de kwantummechanica – of zelfs van de realiteit zelf – echt is verdwenen.
Zoals Jill North, filosoof van de fysica aan de Rutgers Universiteit, opmerkt: “De wiskundige formulering stuurt wat we afleiden over de natuur van de fysieke wereld.”
In Amsterdam, in 1637, tijdens de piek van de tulpengekte, stond René Descartes voor vergelijkingen waarvan de oplossingen leken te beschikken over onmogelijke waarden. Hij nam als voorbeeld de kubische vergelijking x³ – 6x² + 13x – 10 = 0. Descartes merkte op dat zijn oplossingen “niet altijd reëel zijn; soms alleen imaginaire… Soms is er geen enkele hoeveelheid die overeenkomt met wat je je voorstelt.” In dit geval zijn de oplossingen 2, 2 – i en 2 + i. Deze laatste getallen, met een reëel en imaginair deel, werden complex getallen genoemd.
Hoewel Descartes ze verafschuwde, werden complexe getallen uiteindelijk geaccepteerd vanwege hun grote nuttigheid in velden zoals de geometrie, optica of signaalanalyse.
Schrödinger erkende met tegenzin dat ze praktisch waren in de kwantumtheorie. Zijn vergelijking beschrijft hoe de golffunctie evolueert, een entiteit die de mogelijke kwantumtoestanden van een systeem vertegenwoordigt en kan interfereren zoals golven dat doen. Hoewel alle fysieke metingen reële waarden opleveren, is de golffunctie een functie van complexe waarden.
In de loop der tijd hebben verschillende fysici geprobeerd om de theorie opnieuw te formuleren met uitsluitend reële getallen. In 1960 ontwikkelde Ernst Stueckelberg een kwantummechanica in reële waarden die de rotaties van het complexe vlak nabootste door middel van wiskundige trucs. Echter, waar de complexe formulering compact was, bleek de reële formulering omslachtig. Bijvoorbeeld, het beschrijven van de golffunctie van twee deeltjes vereist vier complexe getallen, maar de formulering van Stueckelberg heeft zestien reële getallen nodig.
Toch hebben in 2008 en 2009 twee teams aangetoond dat deze theorieën de standaardresultaten van de Bell-test, een fundamentele test voor de kwantumtheorie, kunnen reproduceren. “Voor veel dingen werkt de theorie in reële waarden,” merkt Wootters op. Maar er bleef één open vraag: zou het altijd werken?
Aannames over de basis
In 2021 bedachten Nicolas Gisin en zijn team een manier om de grenzen van de theorieën in reële waarden te testen door middel van een geavanceerdere versie van de Bell-test. In deze uitgebreide test waren er twee verschillende bronnen van verstrengelde deeltjes en drie deelnemers: Alice, Bob en Charlie. Hun berekeningen toonden aan dat voor een theorie die uitsluitend op reële getallen is gebaseerd, de maximale correlatie tussen de metingen lager was dan in de complexe kwantumtheorie. Dit betekent dat er empirisch bewijs was om de reële theorieën definitief te verwerpen.
Een team van de Universiteit voor Wetenschap en Technologie van China voerde het experiment uit en vond correlaties die veel hoger waren dan de reële limiet. Het leek erop dat complexe getallen onontbeerlijk waren.
Echter, de uitkomst overtuigde niet iedereen. Sommige fysici wijzen erop dat complexe getallen eenvoudigweg paren van reële getallen zijn met specifieke combinatie regels. Waarom zou het niet mogelijk zijn om de kwantummechanica uitsluitend te beschrijven met reële getallen?
De Franse en Duitse teams betwistten bovendien een fundamentele aanname van het artikel uit 2021: dat een reële theorie hetzelfde tensorproduct moest gebruiken als de complexe theorie. Dit tensorproduct, leggen ze uit, is niets meer dan een specifiek geval van een bredere familie van vector combinatieregels. In gebogen ruimtes geldt bijvoorbeeld niet dat de som van de kwadraten om de hypotenusa te berekenen nog opgaat. Op vergelijkbare wijze kunnen verschillende tensorproducten worden toegepast in reële theorieën. Door gebruik te maken van deze nieuwe regels hebben beide teams volledig equivalente theorieën in reële waarden ontwikkeld die gelijkwaardig zijn aan de standaard kwantumtheorie.
Tegelijkertijd toonde Craig Gidney, expert in kwantumcomputing bij Google, aan dat elk kwantumalgoritme kan worden geschreven zonder gebruik te maken van de T-logische poort die rotaties in het complexe vlak introduceert. Zijn numerieke resultaat toonde aan dat kwantumcomputing geen complexe getallen nodig heeft.
Maar waarom zijn complexe getallen zo natuurlijk? De levensvatbaarheid van theorieën in reële waarden roept een diepgaande vraag op: als we i kunnen vermijden, waarom is de complexe formulering dan zo eenvoudig en elegant? Schrödinger had dit een eeuw geleden al opgemerkt: werken met complexe golffuncties vereenvoudigt de berekeningen enorm.
Voor veel fysici is dit geen toeval. De complexe kwantumtheorie, met zijn natuurlijke tensorproduct, blijft beknopter en directer dan de reële alternatieven. Zelfs wanneer de theorie uitsluitend met reële getallen wordt herschreven, weerspiegelt de interne structuur nog steeds de aritmetiek van complexe getallen. Zoals Wootters opmerkt: “Zelfs in zijn reële versie, zie je de afdruk van complexe aritmetiek.”
Zelfs de verdedigers van reële theorieën geven toe dat deze in wezen het gedrag van complexe getallen nabootsen, vooral hun vermogen om rotaties te genereren. “We simuleren complexe getallen met reële getallen,” erkent Anton Trushechkin, een fysicus aan de Heinrich Heine Universiteit in Düsseldorf en co-auteur van het Duitse artikel.
Voor filosoof Jill North lijkt het erop dat complexe getallen bijzonder natuurlijk passen in de kwantumstructuur. Haar doel is om te identificeren welk diep kwantumkenmerk – misschien spin, een eigenschap zonder klassiek analogon – de formulering zo geschikt maakt.
Anderen maken zich zorgen dat complexe getallen nog steeds op een verborgen manier in de reële theorieën verschijnen. Voor Vlatko Vedral, van de Universiteit van Oxford, suggereert dit dat hun essentie nog steeds aanwezig is, en dat hun schijnbare verdwijning mogelijk overdreven is. Zijn ambitie zou zijn om eenvoudigere en intuïtievere axioma’s te vinden die de kwantumtheorie opnieuw zouden kunnen reconstrueren vanaf nul op een volledig nieuwe manier.
“We hebben niet één enkele alternatieve manier om de kwantummechanica te formuleren zoals dat honderd jaar geleden gebeurde,” reflecteert Vedral. “En de vraag is: waarom? Waarom kunnen we niet verder gaan?”
